Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

Ни одна силовая линия не может выйти из такого проводника A_s, так как ни одна область поля не имеет потенциал ниже, чем на A_s. Если проводник A_s полностью отрезан от проводника A_r замкнутой поверхностью одного из проводников, то q_rs равно нулю. Если A_s не отрезано полностью, то q_rs отрицательно.

Если один из проводников A_t полностью окружает A_r, то все силовые линии, выходящие из A_r, попадают на A_t, и на

проводники, находящиеся внутри A_t, и сумма коэффициентов индукции этих проводников по отношению к A_r, будет равна величине q_rr с обратным знаком. Если же A_r не полностью окружено проводником, то арифметическая сумма коэффициентов индукции q_rs будет меньше, чем q_rr.

Мы вывели эти две теоремы независимо, исходя из физических соображений. Предоставляем любителям математики установить, является ли одна из них следствием другой.

89 г. Если в поле имеется единственный проводник, то его собственный коэффициент потенциала равен обратной величине его ёмкости.

Центр распределения электричества в отсутствие внешних сил называется электрическим центром проводника. Если проводник симметричен относительно своего геометрического центра, то эта точка и является электрическим центром. Если размеры проводника малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, то положение электрического центра можно определить достаточно точно на глаз.

Потенциал на расстоянии c от электрического центра имеет значение между

e

c

1+

a^2

c^2

и

e

c

1-

a^2

c^2

где e - заряд проводника, а a -наибольшее расстояние точек его поверхности от электрического центра.

Действительно, если предположить, что заряд сосредоточен в двух точках, находящихся на расстоянии a по обе стороны от электрического центра, то первое из приведённых выражений даст потенциал в точке, лежащей на прямой, соединяющей заряды, а второе - на перпендикулярной ей прямой. Для всех остальных распределений заряда внутри сферы радиуса a потенциал будет иметь значение, промежуточное между этими двумя.

Если в поле имеется два проводника, то их взаимный коэффициент потенциала равен 1/c', где c' отличается от расстояния c между их электрическими центрами не больше чем на (a^2+b^2)/c. Здесь a и b - наибольшие расстояния точек поверхностей обоих тел от их электрических центров.

89 д. Если в поле вносится новый проводник, то собственные коэффициенты потенциала всех остальных проводников уменьшаются.

Действительно, предположим сначала, что новое тело B - диэлектрик (с такой же удельной индуктивной способностью, как у воздуха) и не несёт на себе никаких зарядов. Тогда если одному из проводников A₁ сообщить заряд e₁, то на распределение электричества на проводниках тело B не повлияет, так как B остаётся всюду незаряженным, и электрическая энергия системы будет просто равна (eV)/2 = (e^2p)/2.

Пусть теперь B становится проводником. Заряд начнёт по нему перетекать из областей с большим потенциалом в области с меньшим потенциалом, при этом электрическая энергия системы уменьшится, так что величина (e^2p)/2 должна уменьшиться.

Поскольку e остаётся постоянным, должно уменьшиться p.

Если к телу B будет добавлено другое тело b, находящееся в контакте с ним, то p ещё больше уменьшится.

В самом деле, предположим сначала, что тела B и b не соединены. Внесение нового

тела b уменьшит p. Пусть после этого тела B и b соединены. Если какой-либо заряд перейдёт с одного тела на другое, то он пойдёт от большего потенциала к меньшему, так что, как мы показали, p опять уменьшится.

Таким образом, уменьшение p проводящим телом B больше того, которое было бы при внесении любого проводника, поверхность которого вписывается в B, и меньше того, которое было бы при внесении любого проводника, поверхность которого охватывает B.

В главе XI мы покажем (п. 146), что сфера диаметром b на расстоянии r, большом по сравнению с b, уменьшает величину p приблизительно на b³/(8r⁴).

Отсюда следует, что если тело B любой другой формы, и b - его наибольший поперечный размер, то уменьшение p должно быть меньше b³/(8r⁴).

Поэтому если наибольший размер тела B настолько мал по сравнению с расстоянием от тела A₁ что величинами порядка b³/(8r⁴) мы можем пренебречь, то в качестве достаточного приближения для p можно рассматривать обратную величину ёмкости уединённого тела A₁.

90 а. Пусть ёмкость уединённого проводника A₁ равна K₁, ёмкость уединённого проводника A₂ равна K₂, и пусть среднее расстояние между этими проводниками равно r, причём r очень велико по сравнению с наибольшими поперечными размерами A₁ и A₂. Тогда p=(1/K₁), p=(1/r), p=(1/K₂), V=eK^{– 1}+er^{– 1}, V=er^{– 1}+eK^{– 1}.

Отсюда q=K(1-KKr^{– 2})^{– 1}, q=KKr^{– 1}(1-KKr^{– 2})^{– 1}, q=K(1-KKr^{– 2})^{– 1}.

Здесь q и q -ёмкости проводников A₁ и A₂, когда они уже не удалены по отдельности на бесконечное расстояние от всех тел, а помещены на расстоянии r друг от друга.

90 б. Если два проводника настолько близки друг к другу, что их коэффициент взаимной индукции велик, то такую комбинацию мы называем Конденсатором.

Пусть A и B - два проводника (электрода) конденсатора.

Пусть L - ёмкость A, N - ёмкость B, а M - коэффициент взаимной индукции (следует помнить, что M отрицательно, так что численные значения L+M и L+N меньше, чем L и N).

Пусть a и b - электроды другого конденсатора, находящегося на расстоянии R от первого, причём R много больше размеров каждого конденсатора, и пусть коэффициенты ёмкости и индукции уединённого конденсатора ab равны соответственно l, n, m. Рассчитаем влияние одного из конденсаторов на коэффициенты другого.

Положим

D

=

LN-M^2

,

d

=

ln-m^2

.

Тогда коэффициенты потенциала для каждого из конденсаторов в отдельности будут равны

p

_AA

=

D

^{– 1}

N,

p

_aa

=

d

^{– 1}

n,

p

_AB

=

– D

^{– 1}

M,