Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
92. Если в поле вносится новый проводник A3, то ёмкости всех имевшихся ранее в поле проводников увеличиваются, а численные значения коэффициентов индукции любой пары проводников уменьшаются.
Действительно, допустим, что A1 находится под единичным потенциалом, а все остальные проводники - под нулевым. Поскольку заряд вновь внесённого проводника будет отрицательным, он индуцирует на всех остальных проводниках положительный заряд, тем самым увеличивая положительный заряд A1 и уменьшая отрицательные заряды всех остальных проводников.
93
Поскольку проводники изолированы, то их заряды остаются при перемещении постоянными. Пусть их потенциалы равны V1, V2, …, Vn до перемещения и V'1, V'2, …, V'n– после. Тогда электрическая энергия равна W=(1/2)(eV) до перемещения и W'=(1/2)(eV') - после.
Работа, совершаемая при перемещении электрическими силами, равна разности начальной энергии W и конечной энергии W' т.е. W-W'=(1/2)[e(V-V')].
Это выражение даёт значение работы при любом перемещении системы изолированных проводников, большом или малом.
Чтобы найти силу, стремящуюся произвести какой-либо частный вид перемещения, обозначим через переменную, изменение которой соответствует этому виду перемещения, а через - соответствующую силу, которую мы считаем положительной, если электрическая сила стремится увеличить . Тогда d=-dWe, т.е. =-(dWe/d), где We– электрическая энергия, выраженная как квадратичная функция от зарядов.
93 б. Докажем, что (dWe/d) + (dWV/d) = 0.
У нас есть три различных выражения для энергии системы.
Во-первых, W=(1/2)(eV). Это определённая функция от d зарядов и d потенциалов.
Во-вторых, We=(1/2)(eresprs), где r и s могут быть и одинаковыми и разными, причём в сумму включается как rs, так и sr. Это функция от n зарядов и от переменных, определяющих их расположение. Пусть одна из этих переменных.
И, в-третьих, WV=(1/2)(VrVsqrs), где суммирование производится как и выше. Это функция от n потенциалов и от переменных, определяющих конфигурацию, одной из которых является .
Поскольку W=We=WV, то We+WV– 2W=0.
Представим себе, что n зарядов, n потенциалов и как-то меняются согласованным образом. Тогда
dWe
der
–
V
r
e
r
+
dWV
dVs
–
e
s
V
s
+
+
dWe
d
+
dWV
d
=
0.
Однако n
Работа, совершаемая электрическими силами при перемещении системы проводников, потенциалы которых поддерживаются постоянными
93 в. Из последнего уравнения следует, что сила равна =(dWV/dVs), так что если система перемещается при условии, что все потенциалы остаются постоянными, то работа, совершаемая электрическими силами, равна
d
=
dW
V
=
W'
V
– W
V
,
т.е. равна в этом случае приращению электрической энергии.
Таким образом, мы имеем здесь увеличение энергии при одновременном совершении системой работы. Следовательно, в систему должна подводиться энергия от какого-либо внешнего источника, например от вольтовой батареи, обеспечивающей постоянство потенциалов при перемещении.
Совершаемая батареей работа равна, следовательно, сумме совершаемой системой работы и приращения энергии, а поскольку они равны, то работа, совершаемая батареей, равна удвоенной работе, совершаемой системой проводников при перемещении.
О сравнении подобных заряженных систем
94. Если две заряженные системы геометрически подобны, так что соответствующие длины в этих системах относятся как L к L', и если диэлектрик, разделяющий проводники в обеих системах, один и тот же, то коэффициенты индукции и ёмкости этих систем относятся как L к L'. Действительно, если рассмотреть соответствующие части A и A' этих систем и предположить, что количество электричества на A равно e, а на A' равно e', то создаваемые этими зарядами потенциалы V и V' в соответствующих точках B и B' будут равны V=(e/AB), V'=(e'/A'B'). Но AB относится к A'B' как L к L', так что e:e = LV:L'V'.
В случае же, когда индуктивные способности диэлектриков в этих системах различны и равны K для первой и K' для второй, если потенциалы в соответствующих точках первой и второй систем относятся как V к V', а заряды в соответствующих частях систем - как e к e', то e:e' = LVK:L'V'K'. По этой пропорции мы можем находить отношение полных зарядов соответствующих частей двух систем, которые, во-первых, геометрически подобны, во-вторых, содержат среды, удельные индуктивные способности которых относятся друг к другу в соответствующих точках как K и K', и, в-третьих, заряжены так, что их потенциалы в соответствующих точках относятся как V к V'.