Изложение системы мира
Шрифт:
Применим полученный вывод к Юпитеру. Средний радиус орбиты четвёртого спутника, который мы приводили во второй книге, если бы наблюдать его с расстояния, равного среднему расстоянию Земли от Солнца, был бы виден под углом в 7964.сс75 [2580."58]. Радиус окружности содержит 636 619.сс8 [206 264."8]. Следовательно, отношение средних радиусов орбиты четвёртого спутника и Земли равно отношению этих двух чисел. Продолжительность звёздного обращения четвёртого спутника равна 16.6890 суток, а звёздный год равен 365.2564 суток. Исходя из этих данных, находим, что масса Юпитера, если за единицу взять массу Солнца, равна 1/1067.09. Для большей точности надо уменьшить делитель этой дроби на одну единицу. Тогда получаем 1/1066.09.
Таким же образом я нашёл, что масса Сатурна равна 1/3359.4, а масса Урана составляет 1/19504
Возмущения, испытываемые этими тремя большими планетами под влиянием их взаимного притяжения, дают способ с большой точностью получить значения их масс. Бувар, сравнив с моими формулами, приведёнными в «Небесной механике», большое число особенно тщательно проанализированных наблюдений, построил новые, очень точные таблицы Юпитера, Сатурна и Урана. Для этой важной работы он составил условные уравнения, оставив в них в качестве неизвестных массы этих планет. Решив эти уравнения, он получил, соответственно, следующие величины масс: 1/1070.5; 1/3512; 1/17918.
Если учесть трудность измерения элонгаций спутников Сатурна и Урана и незнание нами эллиптичности орбит этих спутников, достойна удивления та малая разница, которая получилась между величинами, вычисленными исходя из этих элонгаций, и выведенными по возмущениям. Эти последние величины включают для каждой планеты как её массу, так и массу её спутников, к тому же для Сатурна надо прибавить ещё массу кольца. Но всё наводит на мысль, что масса планеты сильно превышает массы окружающих её тел. Во всяком случае это несомненно для Юпитера и Земли. Применяя мой метод анализа вероятностей к условным уравнениям г-на Бувара, было найдено, что, с вероятностью в миллион против одного, значение массы Юпитера, которое получил Бувар, ошибочно не более чем на ±1/100 своей величины. Для массы Сатурна эта вероятность равна 11000 против единицы. Так как возмущения, производимые Ураном в движении Сатурна, незначительны, придётся ждать большего числа наблюдений, чтобы получить его массу с той же вероятностью. Но при существующем состоянии наблюдений можно ставить 2500 против одного, что приведённая выше величина ошибочна не больше чем на свою четвёртую часть.
Возмущения, испытываемые Землёй из-за притяжения Венерой и Марсом, достаточно заметны, чтобы определить массы этих двух планет. Буркхардт, составивший великолепные солнечные таблицы, основанные на четырёх тысячах наблюдений, получил массы этих планет, равными, соответственно, 1/405871 и 1/2546320.
Описанным ниже способом можно получить и массу Земли. Если за единицу взять её среднее расстояние от Солнца, дуга, описываемая ею за секунду времени, будет равна отношению окружности к радиусу, делённому на число секунд в звёздном году, или на 36 525 636.1с [31 558 149.s6]. Разделив квадрат этой дуги на диаметр, получим для её синуса-верзуса 1479 565/1020. Это та величина, на которую Земля падает за одну секунду на Солнце в силу своего относительного движения вокруг этого светила. В предыдущей главе мы видели, что на земной параллели, квадрат синуса широты которой равен 1/3, в результате притяжения Земли тела падают за одну секунду на 3.66477 м. Чтобы привести это притяжение к среднему расстоянию Земли от Солнца, его надо умножить на квадрат синуса солнечного параллакса и полученное произведение разделить на число метров, заключённых в этом расстоянии. Земной радиус на рассматриваемой нами параллели равен 6 369 809 м. Поэтому, разделив это число на синус солнечного параллакса, полагаемого равным 26.сс54 [8."60], мы получим средний радиус земной орбиты, выраженный в метрах. Отсюда следует, что действие притяжения Земли на среднем расстоянии этой планеты от Солнца равно произведению дроби 3.66477/6369809 на куб синуса 26.сс54 [8."60], т.е. 4.16856/1020. Вычтя эту дробь из 1479565/1020, получим, что притяжение Солнца на таком же расстоянии равно 1 479 560.8/1020. Следовательно, отношение масс Солнца и Земли равно отношению чисел 1479 560.8 и 4.16856, откуда следует, что масса Земли равна 1/354936 массы Солнца.
Если параллакс Солнца немного отличается от предположенного нами, значение массы Земли должно измениться как куб этого параллакса по сравнению с кубом параллакса 26.сс54 [8."60].
Масса Меркурия была определена по его объёму в предположении, что плотности этой планеты и Земли обратны их расстояниям до Солнца. Хотя эта гипотеза весьма ненадёжна, но
Массы планет при массе Солнца, принятой за единицу:
Меркурий
1/2 025 810
Юпитер
1/1070.5
Венера
1/405 871
Сатурн
1/3512
Земля
1/354 936
Уран
1/17 918
Марс
1/2 546 320
Плотности тел пропорциональны массам, делённым на объёмы, а когда массы имеют приблизительно сферическую форму, их объёмы относятся как кубы их радиусов. Поэтому плотности относятся как массы, делённые на кубы радиусов. Но для большей точности за радиус планеты надо брать радиус, соответствующий параллели, у которой квадрат синуса широты равен 1/3.
В первой книге мы видели, что полудиаметр Солнца виден со среднего расстояния Солнца от Земли под углом в 2966 сс [961"]. На таком же расстоянии земной радиус был бы виден под углом в 26.сс54 [8."60]. Отсюда легко заключить, что если за единицу взять среднюю плотность солнечного шара, средняя плотность Земли оказывается равной 3.9326. Эта величина независима от солнечного параллакса, так как и объём и масса Земли возрастают как кубы этого параллакса.
Экваториальный полудиаметр Юпитера, видимый на среднем расстоянии от Солнца, по точным измерениям Араго равен 56.сс702 [18."371]. Полуось, проходящая через полюса, равна 53.сс497 [17."333]. Поэтому радиус сфероида Юпитера, соответствующий параллели, квадрат синуса широты которой равен 1/3, был бы виден на таком же расстоянии под углом в 55.сс967 [18."133], а на среднем расстоянии от Земли до Солнца — под углом в 291.сс185 [94."344]. Отсюда легко заключить, что плотность Юпитера равна 0.99239.
Таким же способом можно определить плотности других планет, но ошибки измерений их видимых диаметров и оценки их масс ещё создают большую неуверенность в результатах вычислений. Если предположить видимый диаметр Сатурна на среднем расстоянии от Солнца равным 50сс [16"], получим его плотность, равной 0.55, опять-таки принимая за единицу плотность Солнца.
Сравнивая относительные плотности Земли, Юпитера и Сатурна, видим, что они меньше у планет, более отдалённых от Солнца. Кеплер пришёл к тому же выводу, руководствуясь идеями порядка и гармонии, и предположил, что плотности планет обратно пропорциональны корням квадратным из их расстояний. Но по тем же соображениям он считал, что Солнце — наиболее плотное из всех небесных светил, что, конечно, не так. Планета Уран, плотность которой кажется превосходящей плотность Сатурна, отклоняется от приведённого правила, но неуверенность в измерениях её видимого диаметра и наибольших элонгаций её спутников не позволяет дать окончательный ответ на этот вопрос.
Чтобы получить величину силы тяжести на поверхности Солнца и планет, примем во внимание, что если бы Юпитер и Земля были в точности сферическими и не имели вращательного движения, силы тяжести на их экваторах были бы пропорциональны их массам, разделённым на квадраты их диаметров. На расстоянии, равном среднему расстоянию Земли от Солнца, полудиаметр Юпитера был бы виден под углом в 291.сс185 [94."344], а полудиаметр земного экватора — под углом в 26.сс54 [8."60]. Если за единицу взять вес тела на этом экваторе, вес этого же тела, перенесённого на экватор Юпитера, был бы 2.716. Но его нужно уменьшить приблизительно на 1/9, чтобы учесть центробежные силы, вызванные вращением этих планет. То же самое тело на экваторе Солнца весило бы 27.9. За первую секунду своего падения тела там пролетают 102 м.
Огромные расстояния, отделяющие нас от этих больших тел, казалось, должны были навсегда скрыть от человеческого познания действие тяжести на их поверхности. Но последовательность истин приводит нас к результатам, которые представлялись недоступными, когда начало, от которого они зависят, было неизвестно. Благодаря открытию закона всемирного тяготения, стало возможным измерить силу тяжести на поверхности Солнца и планет.31
Глава IV О ВОЗМУЩЕНИЯХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ КОМЕТ