Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

ctg x + 1/2 tg ^x/₂ = 1/2 ctg ^x/₂.

Аналогичные преобразования можно продолжить и дальше:

что и доказывает тождество.

12.4. Перепишем равенство

sin cos ( + ) = sin

в виде

sin cos ( + ) = sin [( + ) - ],

т. е.

sin cos ( + ) = sin ( + ) cos - sin cos ( + ),

или

2 sin cos ( + ) = sin ( + ) cos .

Из условия следует, что cos ( + ) /= 0 и cos /= 0. Разделим последнее равенство на cos ( + ) cos . Получим

2 tg = tg ( + ).

12.5.

Применяя

последовательно формулу синуса двойного угла, приведем числитель к виду

Ответ.– ¹/₈.

12.6. Вычислим вначале произведение косинусов:

Теперь вычислим произведение квадратов синусов, умноженное на 8:

Раскроем скобки и преобразуем каждое произведение двух косинусов в сумму косинусов. После приведения подобных получим

Теперь можно найти произведение тангенсов.

Ответ. 7 .

12.7. Преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:

и воспользуемся условием. Получим

12.8. Доказательство представляет собой цепочку преобразований sin (x + y) sin (x– y) = sin^2 x cos^2 y– cos^2 x sin^2 y = k^2 sin^2 y cos^2 y– cos^2 x sin^2 y = sin^2 y (k^2 cos^2 y– cos^2 x).

Так как cos^2 x = 1 - k^2 sin^2 y, то выражение в скобках равно k^2 - 1. По условию -1 <= k <= 1, т. е. k^2 - 1 <= 0, и, следовательно, sin (x + y) sin (x– y) <= 0.

12.9. Вычислим а^2 + b^2:

а^2 + b^2 = 2 + 2 (cos cos + sin sin ) = 2 + 2 cos ( - ) = 4 cos^2^–  /₂. Теперь преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:

что и требовалось доказать.

12.10. Обозначим sin^2 = а, sin^2 = b, sin^2 = с. Тогда данное в условии соотношение примет вид

т. е.

2abс + аb(1 - с) + bс(1 - а) + ас(1 - b) - (1 - а)(а– b)(1 - с) = 0.

После

того как будут раскрыты скобки и приведены подобные члены, получим

– 1 + с + b + a = 0,

что в первоначальных обозначениях соответствует равенству sin^2 + sin^2 + sin^2 = 1.

12.11.

При преобразованиях мы пользовались формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Ответ.– 3.

12.12. Так как

ctg + ctg = 2 ctg и = /₂– ( + ),

то

Углы и острые. Поэтому ctg > 0 и ctg > 0 и на их сумму можно сократить:

откуда легко найти произведение котангенсов.

Ответ. 3.

12.13. Преобразуем данное выражение:

sin (90° + 16°) + cos (90° + 16°) ctg 8° = cos 16° - sin 16° ctg 8° = cos 16° - 2 sin 8° cos 8° ^{cos 8°}/_{sin 8°} = cos 16° - 2 cos^2 8° = cos 16° - (1 + cos 16°) = -1.

Глава 13

Тригонометрические уравнения и системы

13.1. Так как 2 sin (x + /₄) = sin x + cos x, то

1 + sin 2x + 2 cos 3x sin x + 2 cos 3x cos x = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.

Объединим одночлены, содержащие cos 3x и все оставшиеся одночлены:

2 cos 3x (sin x + cos x– 1) + 2 sin x (sin x + cos x– 1) = 0.

Получим уравнение

(sin x + cos x– 1)(cos 3x + sin x) = 0.

Если sin x + cos x = 1, т. е. (x - /₄) = ¹/₂ , то

x = ⁿ/₂– /₈ и x = n + /₄.

Ответ. 2n; 2n + /₂; ⁿ/₂– /₈; n + /₄.

13.2. Данное уравнение можно преобразовать так:

или

Последнее уравнение равносильно системе