Сто лет недосказанности: Квантовая механика для всех в 25 эссе
Шрифт:
При этом требуется, чтобы такая эволюция откликалась на задачу, подлежащую решению: чтобы волновая функция пришла к виду, из которого мы могли бы извлечь правильный ответ. Для этого в самом конце мы все-таки выполняем измерение, чем «вычисление» и завершается. Способ «подталкивания» волновой функции в сторону правильного (и, разумеется, заранее неизвестного) ответа и составляет содержание квантового алгоритма. Его надо изобретать для каждой отдельной задачи так, чтобы погибающая при измерении волновая функция передавала нам ответ как часть накопившегося в ней знания (информации).
Все это должно звучать загадочно уже по причине индетерминизма: измерения над тождественными системами (с одной и той же волновой функцией) раз от разу дают различные результаты. Как же мы намереваемся считывать ответ? А кроме того, ответы мы почти всегда хотим иметь в виде чисел; как они здесь возникают?
«Ячейкой» квантового компьютера является кубит – квантовая система с двумя опорными состояниями. В принципе подошел бы электрон со своими спиновыми состояниями «вверх» и «вниз» – и, разумеется, бесконечным числом
77
Квантовые точки – твердотельные «ловушки для электронов», называемые еще искусственными атомами именно из-за того, что представляют собой область в пространстве, где электроны локализованы и могут иметь только определенные, дискретные значения энергии, из-за чего излучают и поглощают свет только определенных длин волн. Их первооткрыватели были удостоены Нобелевской премии 2023 г. по химии.
78
Стандартные обозначения для двух «опорных» состояний кубита – |0? и |1?. Я не использую их из опасений перегрузки несколькими «различными видами» чисел.
Чем больше кубитов, тем мощнее квантовый компьютер.
Все, что происходит с состояниями/волновыми функциями кубитов, происходит в согласии с уравнением Шрёдингера – все, кроме финального измерения {79} . Схема вычислений состоит из последовательных преобразований, применяемых к состояниям одного или нескольких кубитов. Например, кубит, бывший в состоянии «А», может оказаться в комбинации состояний «А» и «Б» с какими-то числами, скажем «А плюс 2 Б».
Преобразования, выполняемые над двумя кубитами, реализуют тот или иной вид взаимодействия между ними. Они производят в том числе запутанные состояния. Например, из состояния двух кубитов «(А плюс 2 Б, А)» (где перед запятой указано состояние первого кубита, а после запятой – второго) можно сделать состояние «(А, А) плюс 2 (Б, Б)», используя уже встречавшееся нам (и вообще очень популярное) преобразование CNOT. Это вид взаимодействия, при котором состояние первого кубита влияет на состояние второго: если первый – в состоянии «А», то со вторым ничего не происходит, но если первый – в состоянии «Б», то второй меняет свое «А» на «Б», а свое «Б» на «А».
79
Имеется один аспект эволюции в соответствии с уравнением Шрёдингера, который стоило бы обсудить подробнее, но случая до сих пор как-то не представилось. Эта эволюция происходит способом, который в принципе полностью обратим во времени. По волновой функции «сейчас» можно вычислить не только, какая она будет, но и какой она была. Разумеется, такие вычисления, как всегда, ограничены нашими техническими возможностями, но в простых квантовых системах даже удавалось в точности разворачивать эволюцию, развивавшуюся определенным образом до некоторого момента времени, – что породило заголовки о «квантовом обращении времени». В алгоритмах квантовых вычислений обратимость во времени играет принципиальную роль: квантовый компьютер способен реализовывать только такие алгоритмы. Разумеется, каждый из них заканчивается радикально необратимым действием – измерением.
Как и в случае с телепортацией, основа успеха в том, что все преобразования кубитов выполняются с самими состояниями «А» и «Б», а не с сопровождающими их числами. Числа же, вроде появившейся выше двойки, изменяются в ходе эволюции и в момент финального измерения определяют вероятности различных исходов: в серии измерений, проводимых раз за разом над состоянием «(А, А) плюс 2 (Б, Б)» (которое надо каждый раз создавать заново), результат ББ обнаружится примерно в четыре раза чаще, чем результат АА; чем длиннее серия измерений, тем точнее будет соблюдаться это соотношение. Но никаким прямым способом присутствующую здесь двойку, как и все подобные числа внутри волновой функции, «увидеть» невозможно. На всякий случай я буду временно называть эти числа внутренними; они отвечают за вероятности, но не выражают ответа.
О числах, которые выражали бы интересующий нас ответ, необходимо позаботиться отдельно. Они кодируются тем, что может получиться в результате измерения, – значениями, связанными с опорными состояниями кубитов. Если кубитов всего два, то такому несложному квантовому компьютеру доступны числа 0, 1, 2, 3. Мы можем договориться, что 0 – это результат АА, 1 – результат АБ, 2 – результат БА и 3 –
Десять кубитов позволяют закодировать числа от нуля до 1023, что все еще совсем не много, но сто кубитов – от нуля до числа, в котором уже 31 знак, и оно несколько больше тысячи миллиардов миллиардов миллиардов. Тысяча кубитов отвечает большому числу, в котором 302 знака.
Каждый кубит превращается в обычный бит (принимающий одно из двух значений А и Б) в результате финального измерения. Волновая функция со всеми ее внутренними числами тогда погибает, потому что каждый кубит вынужден «определиться», кем ему стать: состоянием «А» или «Б». «Возникновение чисел» в конце квантового вычисления, таким образом, – работа многократно нам уже встречавшегося коллапса волновой функции (который, как всегда, или постулируется без пояснений, или же объясняется тем или иным образом, как мы видим из других глав). Если угодно, коллапс превращает кубиты в биты.
Но что с индетерминизмом? Мы ведь не властны над результатами измерения: состояние «(А, А) плюс 2 (Б, Б)», например, может показать при измерении результат АА (число 0), а может и ББ (число 3). Заметим, впрочем, что в данном случае измерение заведомо не способно дать результаты АБ и БА (числа 1 и 2) – что уже может иметь некоторый смысл, если обсуждаемое состояние возникло как результат какого-то квантового вычисления. А неопределенность между ответом 0 и ответом 3 мы в состоянии разрешить, повторяя вычисление достаточное число раз, чтобы надежно увидеть, какой ответ возникает с большей вероятностью. В итоге мы бы заключили, что ответ – число 3.
Этот способ действий и применяется в настоящих квантовых вычислениях: нужно добиться, чтобы одно состояние – скажем, «Б, А, А, А, Б, А, Б, Б, Б, А, Б, А, А, А, А, Б, Б, А, А, А, Б, Б, Б, Б, А, А», если у вас 26 кубитов, – кодирующее правильный ответ (36 603 452 в данном случае), оказалось выделено среди всех остальных: выделено сопровождающим его внутренним числом, которое по правилу Борна определяло бы самую высокую вероятность коллапса к этому состоянию при финальном измерении. Другими словами, в ходе эволюции волновой функции при выполнении квантового алгоритма самое большое внутреннее число должно «накопиться» у правильного ответа {80} .
80
Самое большое по абсолютной величине (снова комплексные числа!).
Изобрести последовательность преобразований, которая это обеспечивает, и означает придумать квантовый алгоритм для решения какой-либо задачи. Никаких готовых рецептов для создания квантовых алгоритмов нет, это скорее искусство; тем не менее некоторое количество квантовых алгоритмов придумать удалось, а главная причина внимания к ним в том, что при увеличении объема данных они ведут себя иначе, чем классические алгоритмы.
Вычисление в обычном компьютере, как правило, требует выполнения большого количества операций, и критический вопрос – как это количество операций растет по мере того, как увеличивается объем входных данных. В целом ряде задач оно растет так быстро, что скоро даже суперкомпьютеру требуются годы вычислений. Актуальным примером является задача разложения чисел на множители – актуальным потому, что на ее сложности для обычных компьютеров основаны распространенные схемы шифрования. Число 15 мы разлагаем на множители (3 и 5) в уме, разложение числа 323 потребует от вас небольших усилий, а машина сделает это шутя, но перед серьезными числами, в несколько сотен знаков, компьютер уже практически бессилен: ему придется перепробовать так много вариантов, что ответ появится только тогда, когда давно уже перестанет представлять интерес. Квантовый же алгоритм разложения на множители обходится без лавинообразного роста числа операций. Требуется только достаточное количество кубитов – а как мы видели, уже тысяча кубитов позволяет оперировать с очень значительными числами.
Причина, по которой квантовый компьютер исполняет некоторые избранные алгоритмы несравненно быстрее, чем обычный компьютер решает ту же задачу с помощью доступных ему методов, – как раз в том, что волновая функция всех кубитов вместе взятых, подчиняясь уравнению Шрёдингера, эволюционирует во времени как единое целое.
Дело даже не в том, что, как часто можно услышать, «каждый кубит является нулем и единицей одновременно» (эта фраза означает попросту, что состояние кубита может быть какой-то комбинацией «a А плюс b Б» с любыми числами a и b). Сила квантового компьютера происходит не столько отсюда, сколько из запутывания различных кубитов и комбинирования состояний, относящихся к группам кубитов. Например, волновая функция группы из четырех кубитов может выражаться как комбинация состояний «А, А, А, А», «Б, Б, Б, Б» и «А, Б, А, Б» (наугад выбранных мною для иллюстрации из 16 возможностей), каждое с каким-то сопровождающим его внутренним числом. Ни про один кубит из четырех при этом нельзя сказать, что он «представляет собой ноль и единицу одновременно». Эволюционирует же во времени, как всегда в квантовой механике, вся комбинация целиком, т. е. «a (А, А, А, А) плюс b (Б, Б, Б, Б) плюс c (А, Б, А, Б)». Собственно говоря, эволюционируют «внутренние» числа a, b, c и так далее – изменяются таким образом, чтобы к концу вычисления самое большое из них сопровождало правильный ответ (если правильный ответ – АБАБ, т. е. число 5, то больше других должно стать число c).