Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Решая уравнение этой системы, найдем
cos x = 1, откуда x = 2k,
cos x = sin x, tg x = 1, откуда x = /4 + k.
Так как при x = 2k и x = /4 + k условие sin^2 x /= 1
Ответ. x = 2k; x = /4 + k.
13.3. Поскольку
мы приходим к уравнению
Левая и правая части этого уравнения содержат общий множитель 1 - cos x/1 - sin x. Поэтому уравнение можно записать в виде
Первые корни получаем из уравнения cos x = 1, откуда x = 2k.
Остальные корни найдем, приведя к общему знаменателю дроби, стоящие в скобке, и выполнив вычитание. Получим уравнение
Числитель легко разложить на множители, если сгруппировать однородные члены:
(sin^2 x– cos^2 x) + sin x cos x (sin x– cos x) = (sin x– cos x)(sin x + sin x cos x + cos x).
Знаменатель можно отбросить, так как при cos x = 0 ни одна из скобок в разложении числителя не обращается в нуль. Заботиться о том, чтобы 1 + sin x + sin^2 x не обращалось в нуль, не нужно, так как это выражение всегда положительно.
Если sin x– cos x = 0, то tg x = 1, откуда x = /4 + k.
Остается решить уравнение
sin x + sin x cos x + cos x = 0.
Мы знаем, что (sin x + cos x)^2 = 1 + 2 sin x cos x. Отсюда
Сделав такую замену в оставшемся уравнении, получим квадратное уравнение относительно y = sin x + cos x
y^2 + 2y– 1 = 0.
Корни этого уравнения
y1,2 = -1 ± 2.
Записав sin x + cos x в виде 2 cos (x– /4), мы убедимся,
cos (x – /4) = 1 - 1/2,
откуда
x = 2k ± arccos (1 - 1/2) + /4.
Ответ. 2k; /4 + k; 2k ± arccos (1 - 1/2) + /4.
13.4. Данное уравнение эквивалентно системе
Преобразуя левую и правую части уравнения в сумму тригонометрических функций, мы получим уравнение
cos 9x = 0, откуда x = /18(2n + 1).
Из найденных значений x нужно выбрать те, при которых
cos 2x cos 7x /= 0, т. е. cos 5x + cos 9x /= 0.
Так как речь идет о значениях неизвестного, при которых cos 9 x = 0, то остается потребовать, чтобы cos 5x /= 0, т. е. 5 · /18(2n + 1) /= /2(2k + 1), откуда 5(2n + 1)/9 /= 2k + 1. Число 5(2n + 1)/9 не может быть четным, так как в его числителе лишь нечетные множители.
Оно будет целым, когда = 2n + 1/9 = 2n + 1, т. е. при n = 9m + 4.
Следовательно, корнями уравнения являются числа x = /18(2n + 1) при n /= 9m + 4.
Ответ. /18(2m ± 1); /18(18m ± 3); /18(18m ± 5); /18(18m ± 7).
13.5. Если запишем данное уравнение в виде
то получим равносильное уравнение. Однако дальнейшие преобразования заставляют нас ввести ограничения:
Далее
Когда tg x /= 0, то и sin x /= 0. Это означает, что первое уравнение можно переписать в виде 1/cos x = 2, откуда cos x = 1/2 , что обеспечивает выполнение всех ограничений.