Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
или
sin x/2 (cos x– 2/2 - cos x/2) = 0.
Если sin x/2 = 0, то x = 2n при любом . Если cos x– 2/2 = cos x/2, то либо x– 2/2 + x/2 = 2n,
Ответ. При любом : 2n, 2n + ; при = 2n: x– любое.
13.11. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений
cos 2x = sin^2 x– a, cos 2x = a– sin^2 x.
Понизим степень в правой части каждого уравнения и найдем
cos 2x = 1 - 2a/3, cos 2x = 2a– 1.
Первое уравнение имеет решение, если
– 1 <= 1 - 2a/3 <= 1, т. е.
– 1 <= a <= 2.
Второе уравнение имеет решение, если -1 <= 2a– 1 <= 1, т. е. 0 <= a <= 1. Данное в условии уравнение при -1 <= a <= 2 имеет решения
x = n ± 1/2 arccos 1 - 2a/3,
а при 0 <= a <= 1 решения
x = n ± 1/2 arccos (1 - 2a).
Так как
0 <= 1/2 arccos 1 - 2a/3 <= /4 и 0 <= 1/2 arccos (1 - 2a) <= /2,
то легко найти решения нашего уравнения, которые попадут в интервал 0 <= x <= 2.
Ответ. 1/2 arccos 1 - 2a/3; ± 1/2 arccos 1 - 2a/3; 2 - 1/2 arccos 1 - 2a/3 (существуют при -1 <= a <= 2);
1/2 arccos (1 - 2a); ± 1/2 arccos (1 - 2a); 2 - 1/2 arccos (1 - 2a) (существуют при 0 <= a <= 1).
13.12. Преобразуем подкоренное выражение следующим образом:
sec^2 (17 + 8 sin x– 16 cos^2 x) = sec^2 x (1 + 8 sin x + 16 sin^2 x) = sec^2 x (1 + 4 sin x)^2.
Данное уравнение принимает вид
|1 + 4 sin x|/|cos x| = 2 tg x (1 + 4 sin x).
Если 1 + 4 sin x = 0,
Если 1 + 4 sin x /= 0, то придется рассмотреть два случая, зависящих от знака этого выражения.
Пусть 1 + 4 sin x > 0, т. е. sin x > - 1/4 . Тогда придем к уравнению
1/|cos x| = 2 tg x, или 2 tg x|cos x| = 1,
которое равносильно совокупности систем
Вторая система не имеет решений при sin x > - 1/4 . Решение первой: x = /6 + 2n.
Пусть, наконец, 1 + 4 sin x < 0, т. е. sin x < - 1/4 . Уравнение
2 tg x |cos x| = -1,
к которому мы приходим в этом случае, равносильно такой совокупности систем:
Вторая система не имеет решений при sin x < - 1/4 , а первая дает нам x = -/6 + 2n.
Ответ. n + (-1)n + 1 arcsin 1/4 ; ±/6 + 2n.
13.13. Поскольку tg x + sin x = tg x (1 + cos x) = 2 tg x cos^2 x/2, а tg x– sin x = 2 tg x sin^2 x/2, данное уравнение можно записать в виде
2 tg 1/2 x(|cos x/2| + |sin x/2| - 2 cos x) = 0.
Первые решения получим при tg x = 0; x = k. Остальные решения нам доставят корни уравнения
|cos x/2| + |sin x/2| = 2 cos x,
при которых tg x > 0 (случай tg x = 0 уже исследован). Решим вначале последнее уравнение, а затем исключим те решения, которые не удовлетворяют неравенству tg x > 0. Возведем это уравнение в квадрат и, чтобы не нарушить равносильности, добавим ограничение cos x >= 0. Получим систему