Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

Ответ. 2n ± /3.

13.6. Прибавив к обеим частям уравнения tg 3x, получим

3(tg 3x– tg 2x) = tg 3x (1 + tg^2 2x),

или

Последнее уравнение эквивалентно системе

Решим первое уравнение. Для этого представим произведение sin x cos 2x в виде разности синусов. После приведения

подобных членов получим

sin 3x = 3 sin x.

Воспользовавшись формулой синуса тройного угла, придем к уравнению

sin x (3 - 4 sin^2 x) = 3 sin x, или sin^3 x = 0,

откуда x = k.

Легко проверить, что при x = k ни cos 2x, ни cos 3x в нуль не обращаются.

Ответ. k.

13.7. Преобразуем уравнение следующим образом:

(sin x + cos x)(1 - sin xcos x) + 1/2 sin 2xsin (x + /4) = sin (/2– x) + sin 3x.

Так как sin x + cos x = 2 sin (/4 + x), то придем к уравнению

sin (/4 + x) = 2 sin (/4 + x ) cos (/4– 2x).

Если sin (/4 + x) = 0, то x1 = /4(4n– 1). Остается

2 cos (/4– 2x) = 1,

откуда

x2 = n, x3 = /4(4n + 1).

Серии чисел x1, = /4(4n– 1) и x3 = /4(4n + 1) можно объединить: x1 = /4(2n + 1).

Ответ. /4(2n + 1); n.

13.8. Перепишем уравнение следующим образом:

4(tg 4x– tg 3x) = tg 2x (1 + tg 3x tg 4x).

Приведем выражения в скобках к виду, удобному для логарифмирования:

Уравнение равносильно системе

Так как cos x = 0 не удовлетворяет уравнению, то его можно переписать так:

4 tg x = tg 2x, или 2 tg x = tg x/1 - tg^2 x.

Мы

воспользовались неабсолютным тождеством, которое исключает из области определения те значения x, при которых tg x не существует. Однако tg x входил в предыдущее уравнение, а потому существует, и потеря корней произойти не может. Из последнего уравнения, если tg x = 0, получаем x = n.

Если tg x /= 0, то 2 - 2 tg^2 x = 1, tg x = ±1/2. Так как cos 3x и cos 4x не обращаются при этом в нуль, то можно написать ответ.

Ответ. n; n ± arctg 1/2.

13.9. Уравнение можно переписать так:

Поскольку 0 < x < 2, то 0 < x/2 < и sin x/2 > 0. Однако cos x/2 в этом интервале меняет знак, и нам придется разбить интервал на два: 0 < x <= и < x < 2.

Если 0 < x <= , получим уравнение

2/2 sin x/2 + 2/2 cos x/2 = sin 2x,

y которого может появиться лишь один посторонний корень при cos x = 0. Перепишем последнее уравнение так:

sin (x/2 + /4) = sin 2x,

и найдем его корни из интервала 0 < x <= : x1 = /6, x2 = 3/10. Если < x < 2, придем к уравнению

2/2 sin x/2– 2/2 cos x/2 = sin 2x или sin (x/2– /4) = sin 2x,