Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Так как одновременно tg x > 0 и cos x > 0, то sin x > 0. Поэтому
|sin x| = sin x.
Приходим к уравнению
2sin^2 x + sin x– 1 = 0.
Решая его, найдем
|sin x| = – 1 ± 3/4.
Так как |sin x| >= 0, то остается решить уравнение
|sin x| = 1/2 ,
корнями
x = /6 + 2k, x = 5/6 + 2k.
Остается вспомнить, что tg x > 0.
Ответ. k, /6 + 2k.
13.14. При замене 1/sin 4x на
Так как в левую часть уравнения
ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + (1 + tg^2 2x)1/tg 2x
входит ctg 2x, то, заменив 1/tg 2x на ctg 2x и раскрыв скобки, мы уничтожим в правой и левой частях ctg 2x. Замена 1/tg 2x = ctg 2x грозит лишь приобретением корней, при которых tg 2x не существует, т. е. безопасна, так как tg 2x остается в уравнении. Когда происходит уничтожение одинаковых слагаемых ctg 2x, то нужно добавить к уравнению
3 tg 3x = 2 tg x + tg 2x,
условие
ctg 2x существует.
Мы воспользовались попутно неабсолютным тождеством tg 2x ctg 2x = 1, которое не приводит к приобретению посторонних корней, так как tg 2x и ctg 2x остались в системе.
Преобразуем уравнение следующим образом:
2(tg 3x– tg x) + tg 3x– tg 2x = 0,
т. е.
Теперь систему можно переписать так:
Так как sin 2x /= 0, то на него можно сократить. Получим уравнение
cos 2x = - 1/4 ,
откуда x = ±arccos(- 1/4 ) + k. Поскольку при этих x все ограничения выполняются, найденные значения x являются решениями данного уравнения.
Ответ. ±arccos(- 1/4 ) + k.
13.15. Данное уравнение равносильно системе
Пусть sin x^2 + cos x^2 = y.
sin x^2 cos x^2 = y^2 - 1/2.
После подстановки и простых преобразований уравнение примет вид
y^2 - 2y– 3 = 0,
откуда y1 = -1, y2 = 3. Второй корень посторонний, так как sin x^2 + cos х^2 всегда меньше двух.
Если sin x^2 + cos x^2 = -1, то
cos (х^2 - /4) = -1/2 и x^2 = 2n ± 3/4 + /4.
Взяв знак плюс, получим x^2 = (2n + 1). Этот корень посторонний, так как sin x^2 /= 0.
Для знака минус получим, что x^2 = -/2 + 2n. Это тоже посторонний корень, так как cos x^2 /= 0.
Ответ. Нет решений.
13.16. Данное уравнение равносильно системе
Уравнение можно привести к однородному, домножив 6 sin x на sin^2 x + cos^2 x:
3 sin^3 x– cos^3 x– 2 sin x cos^2 x = 0.
Обозначим tg x через y, получим
3y^3 - 2y– 1 = 0, или (y– 1)(3y^2 + 3y + 1) = 0,
где квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
Остается y = 1, т. е. tg x = 1, x = /4 + n. Однако cos 2x при x = /4 + n обращается в нуль.
Ответ. Нет решений.
13.17. С помощью формул универсальной подстановки придем к уравнению относительно y = tg x/2:
y(2y^3 - 7у^2 - 2y + 1) = 0.
В результате такой замены могли быть потеряны корни, так как tg x/2 теряет смысл при x = (2k + 1), в то время как sin x, cos x и tg x при этих значениях x имеют смысл. Проверкой убеждаемся, что эти значения неизвестного не являются корнями исходного уравнения.