Наука, философия и религия в раннем пифагореизме

Жмудь Леонид Яковлевич

3) Пифагореец, открывший непосвященным учение об иррациональных величинах, был изгнан из сообщества, и ему была поставлена гробница как мертвому (Iam. VP 246).

4) Пифагорейца Гиппарха, разгласившего в письменном виде учение Пифагора, изгнали из школы и поставили ему надгробный памятник как покойнику (Clem. Alex. Strom. V,57). [603]

5-6) Разгласивший пифагорейское учение об иррациональности погиб из-за этого в кораблекрушении (Iam. VP'247; Elias. In Arist. Cat. 125.12 = CAG XVIII.l, p. 125).

603

О том, почему у Климента фигурирует Гиппарх, см. выше, 11,3, сн. 40. Диоген Лаэрций называет адресата письма Лисия Гиппасом (VIII,7). Теслеф (Thesleff. Texts, 92) отмечает следы той же путаницы у Тертуллиана (De an. V,2) и Макробия (In Somn. Scip. 1,14.19).

7-8) Теория иррациональных величин зародилась в пифагорейской школе. Тот, кто впервые разгласил ее, утонул в море (Рарр. I,l; [604] Schol. in Eucl. X.l).

Не нужно обладать богатым комбинационным воображением, чтобы сделать вывод: все эти версии, касающиеся открытия иррациональности и построения додекаэдра,

относятся к одному и тому же человеку, а именно — к Гиппасу. [605] Какой, однако, источник стоит за математической частью этих сообщений? По крайней мере два из них (7-8) опираются, судя по всему, на Евдема; [606] известно также, что к нему восходят и сведения об открытии пифагорейцами первых трех многогранников (Schol. in Eucl. XIII, 1). Едва ли могут быть сомнения в том, что именно Евдем связывал с пифагорейской школой оба интересующих нас открытия. Но называл ли он при этом имя Гиппаса?

604

Pappus. Commentary on Book X of Euclids Elements. G. Junge, W. Thomas, ed. Cabmridge 1930, 63 f.

605

Von Fritz. Discovery; Junge G. Von Hippasus bis Philolaos, C&M 19 (1958) 41; Heller S. Die Entdeckung der stetigen Teilung durch die Pythagoreer, ADAW (1958) № 6, 6 f.

606

Его имя упоминается и в схолии к Х.1 Евклида, и у Паппа, но не находится в непосредственной близости с этими сообщениями. Буркерт, относящий данную версию к некоему платоническому источнику (Burkert, 458 f), тем не менее признает, что версия об открытии додекаэдра может восходить к Евдему (ibid., 460), хотя его имя также нигде прямо с ней не связано. Трудно предположить, однако, чтобы все эти легенды зародились вокруг одного лишь открытия додекаэдра. Еще менее вероятно, что Евдем, оставивший детальный отчет о том, кому принадлежит какая элементарная теорема, обошел молчанием столь важное событие в истории математики, как открытие иррациональности.

Если Евдем писал просто о некоем «пифагорейце», а поздняя традиция подставила на это место имя Гиппаса, то мы, разумеется, лишены возможности определить, кому же именно принадлежат эти открытия: то, что было неизвестно Евдему, не могло стать известным Клименту или Ямвлиху. Тем самым Гиппас вообще исчезает из истории математики, ибо никаких других открытий с ним более не связывают. Словом, если Евдем и его современники не знали математика по имени Гиппас, то его и не существовало. Почему же в таком случае Гиппас воскресает в поздней традиции, которая именно ему, а не Пифагору приписывает два столь важных открытия?

Конечно, у поздних авторов могли быть самые разнообразные мотивы. И все же имя Гиппаса в античной традиции — это не просто некий крюк, на который было удобно повесить анонимные открытия. Аристотелю и Феофрасту Гиппас был известен как философ (Met 984 а 7; DK 18 А 9); Аристоксен упоминает о его экспериментах в гармонике (fr. 90). Достаточно детальные сообщения о его математической теории музыки и акустических опытах, содержащиеся у Теона Смирнского и Боэция (18 А 13-14), также должны восходить либо к Аристоксену, либо к какому-то другому источнику этого времени. Ямвлих упоминает Гиппаса в связи с учением о пропорциях (In Nic., p. 100), что также трудно считать чьей-то выдумкой. Итак, если пифагореец Гиппас, занимавшийся философией, музыкой и математикой, действительно существовал, а Евдем упоминал об открытии пифагорейцами иррациональности и построении додекаэдра, то поздняя традиция, связывающая эти открытия с Гиппасом, должна содержать в себе историческое ядро. [607]

607

Традицию эту принимают, среди прочих: von Fritz. Discovery; Junge. Hippasos, 41; Becker. Denken, 71; Heller. Op.cit, 6 f; van der Waerden, 398 f.

У Ямвлиха сразу же за пассажем о Гиппасе (№ 1) говорится, что после разглашения математические науки преумножились, в особенности их продвинули вперед двое: Феодор из Кирены и Гиппократ Хиосский (Comm. math, sc., p. 77). У Евдема оба математика также упоминаются в одном и том же предложении (fr. 133), и это еще более повышает вероятность того, что упоминание Гиппаса восходит к Евдему. [608]

Если, однако, имя Гиппаса упоминалось в восходящем к Евдему «Каталоге геометров», почему его нет у Прокла? [609] Можно назвать по крайней мере одну существенную причину такого умолчания: сам Прокл (в отличие от Евдема) приписывает Пифагору именно те открытия, которые предшествующая традиция связывала с Гиппасом: открытие иррациональных величин и построение правильных многогранников (в их числе, естественно, подразумевался и додекаэдр). Места для математика Гиппаса в каталоге, таким образом, не оставалось! Можно предположить, что Прокл, доверившись сведениям, которые настойчиво связывали с Гиппасом разглашение чужих открытий, решил пожертвовать этой фигурой и вообще не упоминать ее. Во всяком случае, у нас есть хороший пример того, как Прокл корректирует Евдема: если последний приписывает первые три многогранника пифагорейцам, а два — Теэтету, то у Прокла уже все пять принадлежат Пифагору.

608

Rudio F. Der Bericht des Symplicius uber die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates. Leipzig 1907, 99 f; von Fritz, Discovery, 245; Heller. Op.cit., 7. Не совсем ясно, почему Буркерт полагает, что между двумя этими предложениями нет тесной связи, а следовательно, первое, в отличие от второго, не восходит к Евдему (Burkert, 458 n. 59). Связь здесь очевидна: открытие Гиппасом иррациональности (у Ямвлиха «разглашение») действительно дало толчок исследованиям Феодора и Гиппократа.

609

Отметим, что это не единственный случай умолчания: Демокрит, судя по всему, должен был упоминаться Евдемом, но отсутствует у Прокла.

Недоброжелательность пифагорейской традиции к Гиппасу связана, конечно, не с предполагаемой выдачей математических секретов, а в первую очередь с его политическим соперничеством с Пифагором (18 А 5). Эта недоброжелательность нашла свое отражение не только в поздних рассказах о Гиппасе как главе «математиков», которым противопоставляются верные Пифагору «акусматики».

Гиппас — один из немногих представителей ранней школы, которому псевдопифагорейская традиция не приписывала никаких сочинений, кроме некоего ???????? ?????, направленного против Пифагора (D.L. VIII,7).

Зарождению легенд о выдаче им секретов и изгнании из общества (гибели в море) способствовало, вероятно, то обстоятельство, что термин ??????? значил одновременно «иррациональный, не выразимый в числах» и «священный, тайный». [610] Такое объяснение содержится в источнике, который использовал Папп, [611] и оно кажется вполне разумным. [612] В его авторе резонней видеть Евдема, чем кого-либо из поздних авторов, для которых легенды давно уже стали частью пифагорейской истории. Во всяком случае, употребление термина ??????? по отношению к иррациональным величинам относится к первой половине V в.; у Феодора появляется термин ??????????, а начиная с Теэтета постоянным terminus technicus становится ??????. [613] Этот факт также может указывать на раннее происхождение легенды о разглашении секрета иррациональности. [614]

610

Burkert, 461 f.

611

Намек на двойной смысл слова ??????? заметен и у Плутарха (Numa. 22).

612

См.: Szabo ?. Theaitetos und das Problem der Irrationalitat, AAAHung 14 (1966) 304; Burkert, 461 f; Knorr, 51 n. 6.

613

Fritz К. von. Theaitetos, RE 5а (1934) 1361 f. Заметим, однако, что у Демокрита речь шла об ?????? ???????, так что терминология была еще не прочно установившейся.

614

За исключением Плутарха (Numa, 22), все поздние источники, передающие эту легенду, используют либо ??????????, либо ??????. Напротив, у авторов Pseudopythagorica ??????? встречается довольно часто; см. индекс в собрании Теслефа (Thesleff. Texts, 254).

Поскольку традиция связывает с Феодором доказательства иррациональности величин, лежащих между ?3 и ?17 открытие Гиппаса традиционно относят лишь к ?2. Классическое доказательство иррациональности ?2, т. е. несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, дается в приложении к X книге Евклида. Оно опирается на учение о четном и нечетном и ведется методом reductio ad absurdum. [615] Обе эти детали указывают на его пифагорейское происхождение, но данное доказательство слишком сложное, чтобы быть первоначальным. [616] Фон Фриц, например, считал, что Гиппас открыл иррациональность, исследуя свойства правильного пятиугольника, диагональ которого также несоизмерима с его стороной. Попытки найти для них общую меру ведут к построению все новых пятиугольников, что наглядно демонстрирует бесконечность самой процедуры. [617] Однако доевклидова традиция связывает открытие иррациональности со стороной квадрата, а не пятиугольника (Pl. Tht. 147d; Parm. 140b-c; Arist. Met. 1053 а 14 f). Поэтому более предпочтительными кажутся реконструкции, основанные на отношении диагонали и стороны квадрата. [618] Одна из них, предложенная Кнорром, [619] выглядит следующим образом.

615

Аристотель кратко замечает, что если бы сторона и диагональ квадрата были соизмеримы, то одно и то же число было бы и четным, и нечетным (An. pr. 41 а 26 f).

616

Becker. Denken, 50 f.

617

Von Fritz. Discovery, 294 ff.

618

Van der Waerden. Science, 127; Becker. Denken, 73 f; Knorr, 21 ff.

619

Knorr, 26 f.

Дан квадрат ABCD. Из чертежа видно, что квадрат DBHI является его удвоением. Если сторона DB и диагональ ВН соизмеримы, то можно сосчитать, какое количество раз каждая из них измеряется их общей мерой. При этом из чисел DB и DH по крайней мере одно не должно быть четным.

Квадраты DBHI и AGFE представляют собой квадратные числа. AGFE — это удвоенный DBHI, как ясно из чертежа. Следовательно, AGFE — это четное квадратное число, и его сторона AG, равная DH, должна быть четной. Значит, AGFI делится на 4. Поскольку ABCD — это 1/4 AGFE, он представляет собой четное число. Квадратное число DBHI должно быть его удвоением. Отсюда DBHI и его сторона DB — четные числа. Таким образом, вопреки предположению, мы приходим к тому, что числа DB и DB четные. Следовательно, эти две линии несоизмеримы.

Какую бы, впрочем, реконструкцию первоначального доказательства иррациональности ?2 мы ни приняли, остается ясным, что это открытие имело кардинальную важность в становлении греческой математики. Проблемы, которые оно породило, дали импульс исследованиям Гиппократа, Феодора, Теэтета и нашли свое завершение в созданной Евдоксом теории пропорций, действительной как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин. Значение открытия иррациональности многие были даже склонны переоценивать, полагая, что оно привело к так называемому кризису оснований в греческой математике — по аналогии с тем, что произошло в математике на рубеже XIX-XX вв. [620] Однако эта точка зрения давно уже оставлена, ибо свидетельства такого кризиса отсутствуют. [621] Столь же мало подтверждения находит и идея о том, что открытие Гиппаса нанесло «смертельный удар» по пифагорейской догме «всё есть число». К этому вопросу мы еще вернемся при обсуждении пифагорейской философии.

620

Hasse ?., Scholz ?. Die Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik. Berlin 1928.

621

Reidemeister. Op.cit, 30 f; Burkert, 462 n. 75; Knorr, 40 f, 305 f.