Наука, философия и религия в раннем пифагореизме
Шрифт:
Важность открытия иррациональности является одной из причин, по которой многие историки математики стремятся отнести его к как можно более позднему времени, к концу V в. или даже к началу IV в. Между тем все необходимые математические предпосылки этого открытия (теорема Пифагора, теория четных и нечетных чисел, метод reduciio ad absurdum) имелись уже на рубеже VI-V вв. Нас не должно смущать то обстоятельство, что между Гиппасом и Феодором, продолжившим его исследования, прошло два поколения. Такой же или даже еще больший временной разрыв мы наблюдаем и во многих других случаях. Первые три пропорции открыл Пифагор, следующие три были найдены Евдоксом (Eud. fr. 133), родившимся на 180 лет позже. Так же обстоит дело и с двумя способами нахождения пифагоровых троек: первый из них был найден Пифагором, второй — Архитом.
Представление о том, чего достигли пифагорейцы в математике к началу деятельности Гиппократа Хиосского (ок. 440), можно получить, сопоставляя свидетельства Евдема с тем, что вытекает из фрагментов самого Гиппократа. При этом следует помнить, что Евдем называет еще
622
Heath. Euclid I, 414; van der Waerden. Science, 129 f.
Из сообщений, прямо или опосредованно восходящих к Евдему, известно, что пифагорейцам принадлежали следующие геометрические открытия:
1) теорема о равенстве углов треугольника двум прямым (fr. 136), содержащаяся у Евклида (1,32);
2) теория приложения площадей, рассматриваемая в I и II книгах Евклида (fr. 137);
3) теорема о том, что плоскость вокруг точки могут заполнить только следующие правильные многоугольники: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника (Procl. In Eucl., p. 304);
4) IV книга Евклида, рассматривающая отношения правильных многоугольников и круга (Schol. in Eucl. IV,2);
5) построение трех правильных многогранников — куба, пирамиды и додекаэдра (Schol. in Eucl. XIII,1).
Теоремы, уже известные Гиппократу, подтверждают сообщения Евдема и одновременно расширяют наши представления об уровне пифагорейской математики. Гиппократ хорошо знал значительную часть теорем I книги Евклида, в частности предложения 1-12, 22-23, 29, 32, 47-48. [623] Ему была известна также обобщенная теорема Пифагора для остроугольных и тупоугольных треугольников (II, 12-13) и теорема о правильном шестиугольнике, вписанном в круг (IV,15). Вместе с тем правильный пятиугольник, вписанный в круг, был известен уже Гиппасу. Мы еще раз убеждаемся в том, что вся
623
Van der Waerden. Postulate, 353 f.
IV книга Евклида была известна пифагорейцам, за исключением, может быть, последнего предложения о правильном пятнадцати-угольнике (IV,16). [624]
Поскольку IV книга опирается на положения III книги, часть из которых была известна уже Фалесу, а некоторые другие использовал Гиппократ при квадрировании луночек, следует заключить, что к пифагорейцам восходит и большая часть III книги. [625] Правда, позже к этой книге был добавлен ряд других теорем, а старые были частично переработаны Евклидом либо кем-то незадолго до него. Незначительной переработке подверглось и несколько теорем IV книги, но в целом обе эти книги, бесспорно, восходят к пифагорейцам. [626]
624
Neuenschwander. Erste vier Bucher, 374.
625
Ibid., 374 f.
626
Heath. Euclid I, 370 f, 414; II, 97 f; Neuenschwander. Erste vier Bucher, 369 f, 378; van der Waerden. Postulate, 343; Artmann B. Uber voreuklidische demente', deren Autor Proportionen vermied, AHES S3 (1985) 291-305.
Все 14 теорем II книги Евклида посвящены приложению площадей, которое, как мы помним, Евдем приписывал «пифагорейской Музе». [627] В этой теории квадрирование прямоугольной фигуры решается нахождением среднего пропорционального ? между двумя отрезками а и b, — квадрат со стороной а: и будет равен прямоугольнику ab. Гиппократ не только отлично знал этот метод, но и развил его, сведя задачу об удвоении куба к нахождению двух средних пропорциональных между двумя заданными отрезками. Здесь важно отметить, что Гиппократу не просто были известны предложения, которые мы возводим к пифагорейцам, — в конце концов, он мог доказать их и сам. Но дело в том, что Гиппократ ставил перед собой уже гораздо более сложные задачи и опирался на достижения пифагорейцев в решении своих собственных проблем, таких как квадратура луночек или удвоение куба.
627
Heath. Euclid I, 343 f; Becker. Denken, 60 f.
Итак, можно заключить, что в области планиметрии к середине V в. пифагорейцам было известно содержание II и IV книг, большинство положений III книги и значительная часть I книги. I книга стоит здесь несколько особняком: это связано с тем, что во второй половине IV в. она была сильно переработана и к ней были добавлены многие новые предложения, касающиеся параллелограммов. [628] Помимо этого, создание Евдоксом новой теории пропорций, изложенной в V книге Евклида, вызвало необходимость редакции всех тех положений первых четырех книг,
628
Neuenschwander. Erste vier Bucher, 357 f. 135Ibid., 371 f.
В области стереометрии к пифагорейцам можно отнести построение трех правильных многогранников (XIII книга Евклида) — куба, пирамиды и додекаэдра. Не исключена, правда, и вероятность того, что они больше занимались математическими соотношениями, присущими этим многогранникам, чем их точным математическим построением. [629] Сомнения высказывались в особенности по поводу додекаэдра, ибо построение октаэдра, представляющего собой соединение двух пирамид с квадратным основанием, гораздо проще; тем не менее октаэдр приписывают Теэтету, а додекаэдр — Гиппасу. [630] Разделение теории правильных многогранников на два этапа (исследование отдельных многогранников и их общая теория) помогает уяснить, почему более сложный многогранник был построен раньше, чем более простой и тривиальный. [631] Гиппас занимался не теорией правильных многогранников как таковой, а именно додекаэдром. Теэтет же, поставив вопрос о том, какие правильные многогранники вообще могут существовать, легко открыл октаэдр.
629
Neuenschwander E. Die stereometrischen Bucher der Elemente Euklids, AHES 14 (1974) 103, 120. Отметим, правда, что пример, приводимый Нойен-швандером, мало убедителен: он цитирует Филолая (44 А 24), писавшего, что в кубе 12 ребер, 8 углов и 6 плоскостей, составляющих гармоническую пропорцию (12:8 щ 8:6). Но Филолай математиком не был, и от него следовало ожидать проявления именно такого поверхностного интереса к неожиданным совпадениям. Насколько это характеризует предшествующих ему пифагорейских математиков?
630
Sachs. Op.cit, 82 f.
631
Waterhaus W. С. The Discovery of the Regular Solids, AHES 9 (1972) 212 ff; Neuenschwander. Stereometrische Bucher, 104.
Еще Хит полагал, что основа всех трех арифметических книг Евклида (VII-IX) восходит к пифагорейцам, [632] имея в виду, разумеется, и Феодора, и Архита. Однако раннепифагорейская арифметика отражена в собрании Евклида лишь в очень небольшом объеме, остальной материал дошел до нас через посредство неопифагорейцев. Тем не менее подавляющее большинство историков греческой математики от Таннери и Хита до ван дер Вардена и Кнорра относит значительную часть этого материала к концу VI-середине V в. Буркерт противопоставил этому консенсусу совершенно иной взгляд: до Архита пифагорейская арифметика состояла из заимствованных у вавилонян формул, числовой мистики и туманных спекуляций о четном и нечетном. [633] Несмотря на высокий филологический уровень его анализа, показавшего немало слабых мест в прежних реконструкциях, позиция Буркерта не получила серьезной поддержки среди историков математики, ибо против нее говорит слишком много фактов.
632
Heath. Euclid 11, 294.
633
Burkert, 427 ff.
Если в геометрии пифагорейцы отнюдь не были монополистами, то в арифметике все известные нам математики вплоть до Фимарида, жившего уже в середине IV в., [634] либо прямо связаны с пифагорейской школой, либо были учениками пифагорейцев, как Теэтет и Евдокс. Едва ли случайно сам Архит считал, что арифметика (или теория чисел — ?????????) превосходит геометрию, поскольку дает доказательства там, где геометрия бессильна (47 В 4). [635] Очевидно, что это суждение относится к предшествующей ему математике, причем математике по преимуществу пифагорейской, в которой арифметическая компонента присутствует с самого начала. [636] Высокий уровень арифметических доказательств самого Архита подразумевает наличие уже сложившейся и дедуктивно развитой дисциплины. Недаром многие склонны полагать, что до Архита существовал арифметический компендий, аналогичный «Началам» Гиппократа в геометрии. [637]
634
О его «эпантеме» см.: Becker. Denken, 43 f.
635
Knorr, 58 п. 71, 92, 311.
636
Как отмечает Кнорр, подавляющее большинство математических примеров у Платона взято из арифметики (Knorr, 90).
637
Tannery P. Un traite grec d'arithmetique anterieur a Euclide, Memoires seientifiques. V. III. Paris/Toulouse 1912, 244-250; Heath. Mathematics I, 90, Euclid II, 295; Becker. Denken, 44 f; van der Waerden, 392 ff, 411 ff; Science, 147.